Эквивалентное сопротивление

2.14. Пассивный двухполюсник в цепи синусоидального тока.
Эквивалентные сопротивления и проводимости
    На рис. 2.36 показан пассивный двухполюсник, состоящий из активных и реактивных элементов. Действующие значения напряжения , тока и угол сдвига фаз между ними известны.

  Схема называется последовательной схемой замещения или последовательной эквивалентной схемой пассивного двухполюсника, а ее параметры , и – эквивалентными сопротивлениями двухполюсника.

Рис. 2.37. Векторная диаграмма и соответствующая ей последовательная эквивалентная схема
    Треугольник, образованный сторонами , и и подобный треугольнику напряжений, представляет собой треугольник сопротивлений (рис. 2.28, б), для которого справедливы формулы (2.27).
    Теперь разложим в е к т о р т о к а на две составляющие – активную , направленную по вектору напряжения, и реактивную , перпендикулярную к нему (рис. 2.38, а). Такой векторной диаграмме соответствует параллельная схема замещения двухполюсника (рис. 2.38, б). Ее параметры , и называются эквивалентными проводимостями. Токи в элементах и мы и представляем как активную и реактивную составляющие общего тока: , . Из треугольника токов (рис. 2.38, а) получается треугольник проводимостей
(рис. 2.32, б), стороны которого связаны между собой формулами (2.29).
а)                                                     б)

Рис. 2.38. Параллельная эквивалентная схема и ее векторная диаграмма
    Получим условия эквивалентности приведенных схем.
    Для последовательной цепи , для параллельной , а так как токи и напряжения в обеих схемах одинаковы, то
и ,                                                                    (2.30)
т.е. в любой электрической цепи полная проводимость есть величина, обратная полному сопротивлению.
    Из сопоставления формул (2.27) и (2.29) можно записать:
и .
    Рассматривая последние выражения совместно с (2.30), можно получить две группы формул:

Формулы перехода от последовательной эквивалентной схемы к параллельной:	Формулы перехода от параллельной эквивалентной схемы к последовательной:
(2.31)	(2.32)

    Обращаем внимание на то, что каждая из проводимостей G и B зависит от обоих сопротивлений – активного и реактивного.
В свою очередь, каждое из сопротивлений определяется обеими проводимостями. Соотношения G = 1/R и B = 1/x справедливы только в частном случае, первое – при х = 0, второе – при R = 0.
    Следует отметить, что активная и реактивная составляющие напряжения и тока физически не существуют, измерить их нельзя. Они относятся только к соответствующим эквивалентным схемам замещения и находятся расчетом. Более того, проектируя, например, вектор тока на различные напряжения, мы получим для него разные составляющие.
    Пример 2.15. Найти общее сопротивление цепи, состоящей из параллельно соединенных активного R = 30Ом и индуктивного х = 40 Ом сопротивлений (рис. 2.39, а).

Рис. 2.39. Схемы к примерам 2.15–2.17
    Р е ш е н и е. Так как в левой ветви реактивного сопротивления нет, то ее проводимость в соответствии с (2.31) равна G = 1/R. Аналогично, во второй ветви B = 1/x. Полная проводимость цепи . В соответствии с (2.30) полное сопротивление цепи
Ом.
    Пример 2.16. Рассчитать общее сопротивление цепи, состоящей из параллельно соединенных индуктивности L = 0,478 Гн и емкости С = 31,85 мкФ (рис. 2.39, б). Частота питающего напряжения f = 50 Гц.
    Р е ш е н и е. Определяем сопротивления ветвей:
Ом,
Ом.
    Так как в ветвях отсутствуют активные сопротивления, то их проводимости соответственно равны BL = 1/xL и BC = 1/xС. Полная эквивалентная проводимость цепи не содержит активной составляющей и равна
.
    Полное эквивалентное сопротивление
Ом.
    В рассматриваемой цепи активных элементов нет, она носит чисто реактивный характер. Он может быть индуктивным или емкостным. Знак минус в ответе свидетельствует о последнем, т.е. вся цепь может быть заменена конденсатором емкостью
мкФ.
    Пример 2.17. Амперметр А, вольтметр V и фазометр ф , включенные в цепь катушки (рис. 2.39, в), дали следующие показания: U = 220 В, I = 4,4 А, cos ф = 0,8. Частота питающего напряжения 50 Гц. Определить параметры последовательной и параллельной схем замещения катушки.
    Р е ш е н и е. Находим параметры последовательной эквивалентной схемы:
Ом, Ом,
Ом.
    Рассчитываем элементы параллельной эквивалентной схемы:
См,     См,
См.
    После определения эквивалентных сопротивлений эквивалентные проводимости можно было найти иначе, по формулам (2.31):
См, См,
См.
Пример 2.18. Рассчитать токи в схеме, приведенной на рис. 2.40.

    Р е ш е н и е. Определяем полные сопротивления второй и третьей ветвей:
Ом, Ом.
    Преобразуем эти ветви в эквивалентные параллельные (рис. 2.41, а).

Рис. 2.41. Преобразования электрической цепи
    Их проводимости:
См,       См,
См,      См.
    Суммируем активные и реактивные проводимости параллельных ветвей:
  См, См (см. рис. 2.41, б).
    Определяем эквивалентные сопротивления участка (рис. 2.41, в):
Ом, Ом,
Ом,
и полное сопротивление цепи:
Ом.
    Ток на входе цепи I1 = U/z = 220/41,53 = 5,297 A.
    Напряжение на участке Uab= I1zab= 119,7 В.
    Токи второй и третьей ветвей:
А,                     А.
    Еще раз напоминаем, что для численных значений токов и напряжений законы Кирхгофа неприменимы: .