Эквивалентное сопротивление

2.14. Пассивный двухполюсник в цепи синусоидального тока.
Эквивалентные сопротивления и проводимости

    На рис. 2.36 показан пассивный двухполюсник, состоящий из активных и реактивных элементов. Действующие значения напряжения Image5191, тока и угол сдвига фаз между ними Image5193известны.


Построим по этим значениям векторную диаграмму и, спроектировав вектор напряжения на вектор тока и перпендикулярное к нему направление, получим треугольник напряжений, образованный сторонами Image5195, Image5196и Image5197(рис. 2.37, а).
Как и раньше, Image5198и Image5199будем называть активной и реактивной составляющими напряжения. Изображенная в таком виде диаграмма соответствует схеме, показанной на рис. 2.37, б. Действительно, для нее Image5200, Image5201и Image5202.

Image5194.gif (1678 bytes)
Рис. 2.36. Пассивный двухполюсник

  Схема называется последовательной схемой замещения или последовательной эквивалентной схемой пассивного двухполюсника, а ее параметры Image5203, Image5204и Image5205– эквивалентными сопротивлениями двухполюсника.
Image5206.gif (3115 bytes)
Рис. 2.37. Векторная диаграмма и соответствующая ей последовательная эквивалентная схема
    Треугольник, образованный сторонами Image5203, Image5204и Image5205и подобный треугольнику напряжений, представляет собой треугольник сопротивлений (рис. 2.28, б), для которого справедливы формулы (2.27).
    Теперь разложим в е к т о р т о к а на две составляющие – активную Image5207, направленную по вектору напряжения, и реактивную Image5208, перпендикулярную к нему (рис. 2.38, а). Такой векторной диаграмме соответствует параллельная схема замещения двухполюсника (рис. 2.38, б). Ее параметры Image5209, Image5210и Image5211называются эквивалентными проводимостями. Токи в элементах Image5212и Image5210мы и представляем как активную и реактивную составляющие общего тока: Image5213, Image5214. Из треугольника токов (рис. 2.38, а) получается треугольник проводимостей
(рис. 2.32, б), стороны которого связаны между собой формулами (2.29).
а)                                                     б)
Image5215
Рис. 2.38. Параллельная эквивалентная схема и ее векторная диаграмма
    Получим условия эквивалентности приведенных схем.
    Для последовательной цепи Image5216, для параллельной Image5217, а так как токи и напряжения в обеих схемах одинаковы, то
Image5218и Image5219,                                                                    (2.30)
т.е. в любой электрической цепи полная проводимость есть величина, обратная полному сопротивлению.
    Из сопоставления формул (2.27) и (2.29) можно записать:
Image5220и Image5221.
    Рассматривая последние выражения совместно с (2.30), можно получить две группы формул:

Формулы перехода от
последовательной эквивалентной схемы к параллельной:

Формулы перехода от параллельной эквивалентной схемы к последовательной:

Image5222(2.31)

Image5223(2.32)

    Обращаем внимание на то, что каждая из проводимостей G и B зависит от обоих сопротивлений – активного и реактивного.
В свою очередь, каждое из сопротивлений определяется обеими проводимостями. Соотношения G = 1/R и B = 1/x справедливы только в частном случае, первое – при х = 0, второе – при R = 0.
    Следует отметить, что активная и реактивная составляющие напряжения и тока физически не существуют, измерить их нельзя. Они относятся только к соответствующим эквивалентным схемам замещения и находятся расчетом. Более того, проектируя, например, вектор тока на различные напряжения, мы получим для него разные составляющие.
    Пример 2.15. Найти общее сопротивление цепи, состоящей из параллельно соединенных активного R = 30Ом и индуктивного х = 40 Ом сопротивлений (рис. 2.39, а).
Image5224
Рис. 2.39. Схемы к примерам 2.15–2.17
    Р е ш е н и е. Так как в левой ветви реактивного сопротивления нет, то ее проводимость в соответствии с (2.31) равна G = 1/R. Аналогично, во второй ветви B = 1/x. Полная проводимость цепи Image5225. В соответствии с (2.30) полное сопротивление цепи
Image5226Ом.
    Пример 2.16. Рассчитать общее сопротивление цепи, состоящей из параллельно соединенных индуктивности L = 0,478 Гн и емкости С = 31,85 мкФ (рис. 2.39, б). Частота питающего напряжения f = 50 Гц.
    Р е ш е н и е. Определяем сопротивления ветвей:
Image5227Ом,
Image5228Ом.
    Так как в ветвях отсутствуют активные сопротивления, то их проводимости соответственно равны BL = 1/xL и BC = 1/xС. Полная эквивалентная проводимость цепи не содержит активной составляющей и равна
Image5229.
    Полное эквивалентное сопротивление
Image5230Ом.
    В рассматриваемой цепи активных элементов нет, она носит чисто реактивный характер. Он может быть индуктивным или емкостным. Знак минус в ответе свидетельствует о последнем, т.е. вся цепь может быть заменена конденсатором емкостью
Image5231мкФ.
    Пример 2.17. Амперметр А, вольтметр V и фазометр ф , включенные в цепь катушки (рис. 2.39, в), дали следующие показания: U = 220 В, I = 4,4 А, cos ф = 0,8. Частота питающего напряжения 50 Гц. Определить параметры последовательной и параллельной схем замещения катушки.
    Р е ш е н и е. Находим параметры последовательной эквивалентной схемы:
Image5232Ом, Image5233Ом,
Image5234Ом.
    Рассчитываем элементы параллельной эквивалентной схемы:
Image5235См,     Image5236См,
Image5237См.
    После определения эквивалентных сопротивлений эквивалентные проводимости можно было найти иначе, по формулам (2.31):
Image5238См, Image5239См,
Image5240См.
Пример 2.18. Рассчитать токи в схеме, приведенной на рис. 2.40.


Image5242В,
Image5243Ом,
Image5244Ом,
Image5245Ом,
Image5246Ом,
Image5247Ом,
Image5248Ом,
Image5249Ом.

Image5241.gif (2821 bytes)
Рис. 2.40. Расчетная схема

    Р е ш е н и е. Определяем полные сопротивления второй и третьей ветвей:
Image5250Ом, Image5251Ом.
    Преобразуем эти ветви в эквивалентные параллельные (рис. 2.41, а).
Image5252
Рис. 2.41. Преобразования электрической цепи
    Их проводимости:
Image5253См,       Image5254См,
Image5255См,      Image5256См.
    Суммируем активные и реактивные проводимости параллельных ветвей:
 Image5257 См, Image5258См (см. рис. 2.41, б).
    Определяем эквивалентные сопротивления участка Image5259(рис. 2.41, в):
Image5260Ом, Image5261Ом,
Image5262Ом,
и полное сопротивление цепи:
Image5263Ом.
    Ток на входе цепи I1 = U/z = 220/41,53 = 5,297 A.
    Напряжение на участке Image5264Uab= I1zab= 119,7 В.
    Токи второй и третьей ветвей:
Image5265А,                     Image5266А.
    Еще раз напоминаем, что для численных значений токов и напряжений законы Кирхгофа неприменимы: Image5267.

 

 

Страница обновлена: 27.09.2016