Резонанс в электрической цепи

2.17. Резонансы в электрических цепях
    Резонансом называют режим, когда в цепи, содержащей индуктивности и емкости, ток совпадает по фазе с напряжением. Входные реактивные сопротивление и проводимость равны нулю: x = ImZ = 0 и B = ImY = 0. Цепь носит чисто активный характер: Z = R; сдвиг фаз отсутствует (ф = 0).
    В цепи, содержащей последовательно соединенные участки с индуктивным и емкостным характерами сопротивлений, резонанс называется резонансом напряжений. Рассмотрим простейшую цепь такого вида (рис. 2.23), которую часто называют последовательным контуром. Для нее резонанс наступает при x = xL – xC = 0 или xL = xC, откуда
                                                                  (2.33)
    Напряжения на индуктивности и емкости в этом режиме равны по величине и, находясь в противофазе, компенсируют друг друга. Все приложенное к цепи напряжение приходится на ее активное сопротивление (рис. 2.42, а).

Рис. 2.42. Векторные диаграммы при резонансе напряжений (а) и токов (б)
    Напряжения на индуктивности и емкости могут значительно превышать напряжения на входе цепи. Их отношение, называемое добротностью контура Q, определяется величинами индуктивного (или емкостного) и активного сопротивлений
.
`Добротность показывает, во сколько раз напряжения на индуктивности и емкости при резонансе превышают напряжение, приложенное к цепи. В радиотехнических цепях она может достигать нескольких сотен единиц.
    Из условия (2.33) следует, что резонанса можно достичь, изменяя любой из параметров – частоту, индуктивность, емкость. При этом меняются реактивное и полное сопротивления цепи, а вследствие этого – ток, напряжение на элементах и сдвиг фаз. Не приводя анализа формул, показываем графические зависимости некоторых из этих величин от емкости (рис. 2.43). Емкость , при которой наступает резонанс, можно определить из формулы (2.33):
.
    Если, например, индуктивность контура L = 0,2 Гн, то при частоте 50 Гц, резонанс наступит при емкости
мкФ.

Рис. 2.43. Зависимости параметров режима от емкости
    Аналогичные рассуждения можно провести и для цепи, состоящей из параллельно соединенных R, L и C (рис. 2.31, а). Векторная диаграмма ее резонансного режима приведена на рис. 2.42, б.
    Рассмотрим теперь более сложную цепь с двумя параллельными ветвями, содержащими активные и реактивные сопротивления (рис. 2.44, а).

Рис. 2.44. Разветвленная цепь (а) и ее эквивалентная схема (б)
    Для нее условием резонанса является равенство нулю ее реактивной проводимости: ImY = 0. Это равенство означает, что мы должны мнимую часть комплексного выражения Y приравнять к нулю.
    Определяем комплексную проводимость цепи. Она равна сумме комплексных проводимостей ветвей:

.
    Приравнивая к нулю выражение, стоящее в круглых скобках, получаем:
  или .                    (2.34)
    Левая и правая части последнего выражения представляют собой не что иное, как реактивные проводимости первой и второй ветвей B1 и B2. Заменяя схему на рис. 2.44, а эквивалентной (рис. 2.44, б), параметры которой вычисляем по формуле (2.31), и используя условие резонанса(B = B1 – B2 = 0), снова приходим к выражению (2.34).
    Схеме на рис. 2.44, б соответствует векторная диаграмма, приведенная на рис. 2.45.

Рис. 2.45. Векторная диаграмма резонансного режима разветвленной цепи
    Резонанс в разветвленной цепи называется резонансом токов. Реактивные составляющие токов параллельных ветвей противоположны по фазе, равны по величине и компенсируют друг друга, а сумма активных составляющих токов ветвей дает общий ток.
    Пример 2.23. Считая R2 и x3 известными, определить величину x1, при которой в цепи наступит резонанс напряжений (рис. 2.46, а). Для резонансного режима построить векторную диаграмму.

Рис. 2.46. Электрическая цепь и ее векторная диаграмма
    Решение. При резонансе напряжение U1 на индуктивном сопротивлении x1 равно реактивной составляющей напряжения Uab: I1x1 = I1xab, откуда x1 = xab. Последнее есть реактивное сопротивление последовательной эквивалентной схемы замещения участка ab:
.
    Задача может быть решена и символическим методом. В соответствии с условием резонанса напряжений, мы должны приравнять к нулю мнимую часть комплексного сопротивления цепи. Величина последнего равна

.
    Сумму всех коэффициентов при мнимой единице приравниваем к нулю:
, откуда .
    Построение векторной диаграммы начинаем с вектора I1 (рис. 2.46, б). В том же направлении проводим вектор приложенного к цепи напряжения U – при резонансе они совпадают по фазе. Напряжение на индуктивности опережает ток на 90° , его вектор U1 направляем вверх. Вектор Uab проводим так, чтобы он в сумме с вектором U1 давал вектор U. Ток I2 совпадает по фазе с Uab, а I3 опережает последний на 90° . В сумме векторы I2 и I3 дают вектор I1.