Комплексные числа основные понятия
2.5. Основные сведения о комплексных числах
Комплексным числом называется выражение вида
, (2.6)
где – обозначение комплексного числа; a и b – соответственно действительная и мнимая части комплексного числа; – мнимая единица.
Величины a и b часто обозначают следующим образом: a = Re, b = Im. Символы Re и Im – есть начальные буквы английских слов Real – действительный и Imaginary – мнимый.
|
|
На рис. 2.8 с = !! – модуль комплексного числа, равный длине вектора, а a = arg – аргумент комплексного числа. Так как а = c cos a , а
b = c sin a , то = c (cos a + j sin a ) – тригонометрическая форма комплексного числа. С помощью формулы Эйлера последняя преобразуется в показательную форму . Применяется еще и полярная форма , в самой простой форме задающая модуль и аргумент комплексного числа.
|
Рис. 2.9. Единичный вектор в комплексной плоскости |
Два комплексных числа и называются сопряженными, если они имеют одинаковые модули и равные по величине, но разные по знаку аргументы (рис. 2.10):
|
|
=, т.е. складываются по отдельности вещественные и мнимые части слагаемых: а = а1+а2, b = b1+b2. Операции сложения комплексных чисел соответствует сложение изображающих их векторов.
Сумма сопряженных комплексных чисел равна удвоенному значению вещественной части:
+ =.
Умножение и деление комплексных чисел удобнее всего производить в показательной форме. Модули при этом перемножаются или делятся, а аргументы складываются или вычитаются:
(2.7)
где с= с1 с2, a=a1+a2;
,
где , a =a 1 – a 2 .
Что происходит с векторами при перемножении комплексных чисел?
Изобразим на комплексной плоскости два вектора: 1 – первый сомножитель и – результирующий (рис. 2.11). Последний получается умножением 1 на комплексное число с2е ja2.
|
|
Так как , то при умножении вектора на +- j он поворачивается на угол a 900 (рис. 2.12).
|
|
=
.
При делении, чтобы получить результат, необходимо избавиться от мнимой единицы в знаменателе. Этого можно достичь умножением числителя и знаменателя на сопряженный знаменатель:
где ; .