Комплексные числа основные понятия

2.5. Основные сведения о комплексных числах
    Комплексным числом называется выражение вида
Image4891,                                                      (2.6)
где Image4892– обозначение комплексного числа; a и b – соответственно действительная и мнимая части комплексного числа; Image4893– мнимая единица.
    Величины a и b часто обозначают следующим образом: a = ReImage4894, b = ImImage4895. Символы Re и Im – есть начальные буквы английских слов Real – действительный и Imaginary – мнимый.


Геометрически комплексное число изображается вектором на комплексной плоскости (рис. 2.8). Горизонтальная и вертикальная оси, отмеченные соответственно знаками + и +j, называются действительной (или вещественной) и мнимой. Действительная и мнимая составляющие комплексного числа представляют собой проекции вектора на эти оси.

Image4924.gif (1690 bytes)
Рис. 2.8. Вектор на комплексной плоскости

На рис. 2.8 с = !Image4896! – модуль комплексного числа, равный длине вектора, а a = argImage4896 – аргумент комплексного числа. Так как а = c cos a , а
b = c sin a , то Image4896= c (cos a + j sin a ) – тригонометрическая форма комплексного числа. С помощью формулы Эйлера Image4897последняя преобразуется в показательную форму Image4898. Применяется еще и полярная форма Image4899, в самой простой форме задающая модуль и аргумент комплексного числа.


Свойства мнимой единицы (рис. 2.9):
Image4900, Image4901,
Image4902,
Image4903,
Image4904и т.д.,
Image4905.gif (1249 bytes).

Image4925
Рис. 2.9. Единичный вектор
в комплексной плоскости

    Два комплексных числа Image4906.gif (859 bytes)и Image4907называются сопряженными, если они имеют одинаковые модули и равные по величине, но разные по знаку аргументы (рис. 2.10):


Image4908,
Image4907=Image4909.
Изображающие их векторы симметричны относительно вещественной оси.
Действия над комплексными числами.
Сложение и вычитание производится над числами, записанными в алгебраической форме:

Image4926
Рис. 2.10. Сопряженные комплексные числа

Image4910=Image4911, т.е. складываются по отдельности вещественные и мнимые части слагаемых: а = а1+а2, b = b1+b2. Операции сложения комплексных чисел соответствует сложение изображающих их векторов.
    Сумма сопряженных комплексных чисел равна удвоенному значению вещественной части:
Image4906.gif (859 bytes)+Image4907 =Image4913.
    Умножение и деление комплексных чисел удобнее всего производить в показательной форме. Модули при этом перемножаются или делятся, а аргументы складываются или вычитаются:
Image4914                (2.7)
где с= с1  с2, a=a1+a2;
Image4915,
где Image4916, a =a 1 – a 2 .
    Что происходит с векторами при перемножении комплексных чисел?
    Изобразим на комплексной плоскости два вектора: Image49171 – первый сомножитель и Image4917– результирующий (рис. 2.11). Последний получается умножением Image49171 на комплексное число с2е ja2.


На рис. 2.11 мы видим, что при умножении длина вектора возросла в с2 раз, а аргумент увеличился на a2.
Рассматривая комплексное число как вектор, мы приходим к следующему выводу.
При умножении вектора на комплексное число ае ja , вектор растягивается в а раз и поворачивается на угол a.

Image4927
Рис. 2.11. Перемножение комплексных чисел

    Так как Image4918, то при умножении вектора на +- j он поворачивается на угол a 900 (рис. 2.12).


Произведение сопряженных комплексных чисел равно квадрату модуля комплексного числа:
Image4906x Image4907Image4919,
или
Image4906Image4907Image4920
Иногда приходится производить умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме. Перемножение выполняется по правилам умножения многочленов с учетом того, что j2 = -1

Image4928.gif (2654 bytes)
Рис. 2.12. Умножение вектора на +- j

Image4921=
Image4922.
    При делении, чтобы получить результат, необходимо избавиться от мнимой единицы в знаменателе. Этого можно достичь умножением числителя и знаменателя на сопряженный знаменатель:
Image4929

где Image4930; Image4931.

 

Страница обновлена: 27.09.2016