Расчет цепей синусоидального тока

2.8. Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока.
Методы расчета цепей синусоидального тока

    Для мгновенных значений ЭДС, токов и напряжений остаются справедливыми сформулированные ранее законы Кирхгофа.
    П е р в ы й: в любой момент времени алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю:
Image4948,                                                             (2.8)
где n – число ветвей, сходящихся в узле.
    В т о р о й: в любой момент времени в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме напряжений на всех остальных элементах контура:
Image4949,                                                     (2.9)
где m – число ветвей, образующих контур.
    Токи, напряжения и ЭДС, входящие в уравнения (2.8) и (2.9), есть синусоидальные функции времени, которые мы рассматриваем как проекции некоторых векторов на оси координат. Так как сложению проекций соответствует сложение векторов и соответствующих им комплексных чисел, то справедливыми будут следующие уравнения, которые можно записывать как для действующих, так и для амплитудных значений.


Законы Кирхгофа
в векторной форме:

Законы Кирхгофа
в символической форме:

Image4950(2.10)

Image4951(2.11)

    Из сказанного вытекают три возможных подхода к расчету цепей синусоидального тока: выполнение операций непосредственно над синусоидальными функциями времени по уравнениям (2.8) и (2.9); применение метода векторных диаграмм, основанного на уравнениях (2.10), использование в расчетах комплексных чисел и уравнений (2.11), являющихся основой символического метода.

Пример 2.4. В узле электрической цепи сходятся три ветви (рис. 2.14).


Токи первых двух ветвей известны:
i1 = 8sin(омега.bmpt+300 ) А,
i2 = 6sin(омега.bmpt+1200 ) А.
Требуется записать выражение тока i3 и определить показания амперметров электромагнитной системы.

Image4952.gif (2656 bytes)
Рис. 2.14. Узел электрической цепи

     Р е ш е н и е.

1. Непосредственное сложение синусоид:
i3 = i1+i2 = 8sin(омега.bmpt+300)+6sin(омега.bmpt+1200) = I3msin(омега.bmpt+гамма.bmp3).
    Сумма двух синусоид одинаковой частоты есть тоже синусоида той же частоты. Ее амплитуда и начальная фаза могут быть найдены по известным из математики формулам:
Image4953
Image4954A,
Image4955,
откуда гамма.bmp3 = 66,870 . Итак, i3 = 10sin (омега.bmpt+66,870 ).
   
2. Применение метода векторных диаграмм.
В соответствии с первым законом Кирхгофа в векторной форме для цепи на рис. 2.14 имеем Image4957. В прямоугольной системе координат строим векторы Image4958и Image4959и находим вектор Image4960, равный их сумме (рис. 2.15).

 

Страница обновлена: 27.09.2016