Метод узловых потенциалов

5. Метод узловых потенциалов

Теоретическая база метода узловых потенциалов – 1-ый закон Кирхгофа в сочетании с потенциальными уравнениями ветвей. В этом методе потенциал одного из узлов схемы принимают равным нулю, а потенциалы остальных (n-1) узлов считают неизвестными, подлежащими определению. Общее число неиз­вестных составляет (n-1).
Рассмотрим обобщенную ветвь некоторой сложной схемы (рис. 18).

Свяжем потенциалы концов ветви (узлов) между собой через падения напряжений на отдельных участках:
  или  
Уравнение, связывающее потенциалы конечных точек ветви через паде­ния напряжений на ее отдельных участках, называется потенциальным уравнением ветви. Из потенциального уравнения ветви могут быть определены ток ветви   и напряжение на резисторе:
,        .
Пусть требуется выполнить расчет режима в заданной сложной схеме рис. 19. Параметры отдельных элементов схемы заданы.
Принимаем потенциал узла 0 равным нулю (ф0 = 0), а потенциалы узлов  1 и 2 (ф1  и ф2) будем считать неизвестными, подлежащими определению.
Зададимся положительными направлениями токов в ветвях схемы I1, I2, I3, I4, I5. Составим потенциальные уравнения ветвей и выразим из них токи ветвей:

I1 = (ф1 – ф0  + E1 )/ R1
I2 = (ф2 – ф0  + E2 )/ R2
I3 = (ф1 – ф0  + E3 )/ R3
I4 = (ф0 – ф1  )/ R4
I5 = (ф0 - ф2  )/ R5

Составим (n-1)  уравнение по 1-му закону Кирхгофа для узлов 1 и 2:
-I1 – I3 + I4 – J1 – J2  = 0
-I2 + I3 + I5 + J2 =0
Подставим в уравнения 1-го закона Кирхгофа значения токов, выраженные ранее из потенциальных уравнений. После приведения коэффициентов получим систему узловых уравнений:

 

В обобщенной форме система узловых уравнений имеет вид:

 

Здесь введены следующие обозначения:
 G11 =1/R1  +1/R3 +1/R4;  G22 =1/R2  +1/R3 +1/R5  и т.д. – собственные прово­димости узлов, равные суммам проводимостей всех ветвей, сходящихся в дан­ном узле, всегда положи­тельны;
 G12 = G21  = 1/R3; Gnm = Gmn– взаимные проводимости между смежными узлами (1 и 2, m и n), равные сумме проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы, всегда отрицательны;
J11 = - E1 /R3 – E3 /R3 – J1;  J11 =- E2 /R2 – E3 /R3 + J1 и т. д. – узловые токи узлов, равные алгебраической сумме слагаемых E/R и J от всех ветвей, сходящихся в узле (знак ”+”, если источник действует к узлу, и знак “-” , если источ­ник действует от узла).
Система узловых уравнений в матричной форме:
     или сокращенно    ,
где  - матрица узловых проводимостей,  - матрица узловых по­тенциа­лов,  - матрица узловых токов.
Последовательность (алгоритм) расчета.
1) Принимают потенциал одного из узлов схемы равным нулю, а потенциалы остальных (n-1) узла считают неизвестными, подлежащими определению.
2) Руководствуясь обобщенной формой, составляют (n-1) уравнение для узлов с неизвестными потенциалами.
3) Определяются коэффициенты узловых уравнений и составляются их матрицы.
4) Система узловых уравнений решается на ЭВМ по стандартной про­грамме для решения систем линейных алгебраических уравнений с веществен­ными коэффициентами, в результате чего определяются неизвестные по­тенциалы узлов  ф1,  ф2, …
5) Выбираются положительные направления токов в ветвях исходной схемы I1, I2 , I3, I4, I5. Токи ветвей определяются из потенциальных уравнений ветвей через потенциалы узлов  ф1, ф2, ….
6) При необходимости определяются напряжения на отдельных элементах (Uk = IkRk), мощности источников энергии (PEk = EkIk, PJk = Uk Jk) и приемников энергии (Pk = Ik2 ×Rk).