Комплексный метод расчета
4. Теоретические основы комплексного метода расчета цепей переменного тока
Из курса математики известно, что комплексное число Z может быть представлено в следующих трех формах: показательной, тригонометрической и алгебраической:
показательная тригонометрическая алгебраическая
В основе перехода от одной формы комплексного числа к другой лежит известная из математики формула Эйлера :
Здесь обозначены:
j = – мнимое единичное число,
Z – модуль комплексного числа,
a- аргумент комплексного числа,
а – вещественная часть комплексного числа,
jb – мнимая часть комплексного числа.
Соотношения между коэффициентами различных форм комплексного числа вытекают из формулы Эйлера :
a = Z cosa ; b = Z sina ; Z =; a = arctg .
Приведем наиболее часто встречающиеся численные соотношения
ej0 = 1; e± j180° = -1; e j90° = +j ; e-j90° = -j ; 1/j = -j ; j2 = -1; j3 = -j ; и т. д.
Комплексное число Z = Z eja = a + jb может быть изображено вектором на комплексной плоскости (рис. 38), при этом алгебраической форме числа соответствует декартовая система координат (a ® x; b ® y), а показательной форме числа Z = - полярная система координат (Z ® r; a ® q).
Можно утверждать, что каждой точке (вектору) на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, и наоборот, каждому комплексному числу соответствует определенная точка (вектор) на комплексной плоскости.
Известно, что синусоидальную функцию можно изобразить вектором, а вектор в свою очередь можно представить комплексным числом. Таким образом, синусоидальные токи и напряжения, характеризующие установившийся режим цепи переменного тока, могут быть представлены комплексными числами :
комплексная амплитуда,
|
Û - |
|
|
|
Û |
- комплексное действующее значение. Здесь Û -знак соответствия.
При расчете цепей переменного тока возникает необходимость выполнения различного рода математических операций с синусоидальными функциями. При замене синусоидальных функций (оригиналов) комплексными числами (изображениями) соответствующие математические операции выполняются с комплексными числами.
Сложение (вычитание) комплексных чисел производится в алгебраической форме
Умножение комплексных чисел может выполняться, как в алгебраической, так и в показательной формах:
Деление комплексных чисел может выполняться как в алгебраической, так и в показательной формах:
Возведение в степень (извлечение корня) комплексного числа выполняется только в показательной форме:
Установим порядок дифференцирования и интегрирования синусоидальных функций в комплексной форме. Пусть задана некоторая функция тока и ее комплексное изображение:
Производная и интеграл от этой функции их комплексные изображения будут равны:
;
.
Таким образом, дифференцированию синусоидальной функции времени соответствует в комплексной форме умножение ее комплексного изображения на множитель jw, а интегрированию – соответственно деление на тот же коэффициент:
Замена математических операций 2-го рода (дифференцирование, интегрирование) операциями 1-го рода (умножение, деление) существенно упрощает расчет цепей переменного тока в комплексной форме.
Современные инженерные калькуляторы в режиме «compl» позволяют выполнять все действия с комплексными числами непосредственно так же, как с обычными числами. При этом следует принять во внимание, что калькулятор выполняет действия над комплексными числами только в алгебраической форме и результаты расчета выдает также в алгебраической форме. Если исходные комплексные числа заданы в показательной форме , то после их ввода необходимо выполнить операцию преобразования их в алгебраическую форму.
Комплексный метод расчета цепей переменного тока был разработан в 1910-1912гг. американским инженером Штейнметцом и сыграл большую роль в развитии теории электрических цепей переменного тока.