Комплексный метод расчета

4. Теоретические основы комплексного метода расчета цепей переменного тока
 
  Из курса математики известно, что комплексное число Z может быть представлено в следующих трех формах: показательной, тригонометрической и алгебраической:

 показательная        тригонометрическая              алгебраическая

 

 

В основе перехода от одной формы комплексного числа к  другой лежит известная из математики формула Эйлера : 

Здесь обозначены:
j =  – мнимое единичное число,
Z – модуль комплексного числа,
a- аргумент комплексного числа,
а – вещественная часть комплексного числа,
jb – мнимая часть комплексного числа.
Соотношения между коэффициентами различных форм комплексного числа выте­кают из формулы Эйлера :
                 a = Z cosa ;   b = Z sina ;   Z =;  a = arctg  .
     Приведем наиболее часто встречающиеся численные соотношения
ej0 = 1;    e± j180° = -1;    e j90° = +j ;  e-j90° = -j ;  1/j = -j ;  j2 = -1;    j3 = -j ;  и т. д. 
     Комплексное число Z = Z eja = a + jb   может быть изображено векто­ром на ком­плексной плоскости (рис. 38), при этом алгебраической форме числа  соответствует декартовая система координат (a ® x; b ® y), а показа­тельной форме числа Z =  - по­лярная система координат (Z ® r; a ® q).

 Можно утверждать, что каждой точке (вектору) на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, и наоборот, каждому ком­плексному числу соответ­ствует определенная точка (вектор) на комплексной плоскости.
Известно, что синусоидальную функцию можно изобразить вектором, а вектор в свою очередь можно представить комплексным числом. Таким образом, синусоидальные токи и напряжения, характеризующие установившийся режим цепи переменного тока, могут быть представлены комплексными чис­лами :
комплексная амплитуда,

 

Û   -

 

 

    

Û 


- комплексное действующее значение. Здесь Û -знак соответствия.
При расчете цепей переменного тока возникает необходимость выполнения различного рода математических операций с синусоидальными функциями. При замене синусоидальных функций (оригиналов) комплексными числами (изображениями) соответствующие математические операции выполня­ются с комплексными числами.
Сложение (вычитание) комплексных чисел производится в алгебраиче­ской форме

Умножение комплексных чисел может выполняться, как в алгебраиче­ской, так и в показательной формах:
 

Деление комплексных чисел может выполняться как в алгебраической, так и в показательной формах:


Возведение в степень (извлечение корня) комплексного числа выполня­ется только в показательной форме:


Установим порядок дифференцирования и интегрирования синусои­дальных функций в комплексной форме. Пусть задана некоторая функция тока и ее комплексное изображение:

Производная и интеграл от этой функции их комплексные изображения будут равны:
;
.
Таким образом, дифференцированию синусоидальной функции времени соответствует в комплексной форме умножение ее комплексного изображения на множитель jw, а ин­тегрированию – соответственно деление на тот же коэф­фициент:
             
Замена математических операций 2-го рода (дифференцирование, интегрирование) операциями 1-го рода (умножение, деление) существенно упрощает расчет цепей перемен­ного тока в комплексной форме.
Современные инженерные калькуляторы в режиме «compl» позволяют выполнять все действия с комплексными числами непосредственно так же, как с обычными числами. При этом следует принять во внимание, что калькулятор выполняет действия над комплекс­ными числами только в алгебраической форме  и результаты расчета выдает также в алгебраической форме. Если исходные комплексные числа заданы в показательной форме , то после их ввода необходимо выполнить операцию преобразования их в алгебраическую форму.
Комплексный метод расчета цепей переменного тока был разработан в 1910-1912гг. американским инженером Штейнметцом и сыграл большую роль в развитии теории электрических цепей переменного тока.

 

Страница обновлена: 27.09.2016