Топологические понятия электрических цепей

1.Топологические определения схемы
  
С появлением ЭВМ и их широким применением для решения сложных математических задач были разработаны специальные топологические рас­чёта сложных электрических цепей, графов и матриц.
Схема сложной электрической цепи (рис. 83а) может быть заменена (представ­лена) направленным графом (рис. 83б) с соблюдением следующих условий:
1)узлы графа соответствуют узлам схемы;
2)ветви графа соответствуют ветвям схемы;
3) направление ветвей соответствует направлению токов в ветвях схемы.

Любая часть графа называется подграфом. Минимальный связанный подграф, соединяющий все узлы графа и не образующий контуров, называется деревом графа (на схеме графа обозначается жирной линией). Для конкретного графа может быть составлено определенное множество вариантов деревьев, но в расчете схемы принимается любой из вариантов. Ветви графа, не входящие в его дерево, называются связями или хордами.
Структура графа и соответственно структура электрической схемы может быть описана с помощью топологических матриц или матриц соеди­нения. Таких матриц несколько, для расчета электрических цепей используются две основные:        - матрица соединений «узлы-ветви» и - матрица соединений «контуры-ветви». 
  В общем случае сложная схема содержит «m» ветвей и «n» узлов, при этом максимальное число ветвей зависит от числа узлов:  .
Составим таблицу соединений «узлы-ветви» руководствуясь следующими правилами:
1 – ветвь выходит из узла,
-1 –  ветвь входит в узел,
0 – отсутствие связи с узлом.
Таблица 1

№ узла  \   № ветви	1	2	3	4	5	6
1	1	-1	0	1	0	0
2	-1	0	-1	0	1	0
3	0	1	1	0	0	-1
4	0	0	0	-1	-1	1

Так как каждая ветвь имеет только один вход (-1) и один выход (+1), то сумма чисел по вертикали для любого столбца равна нулю. Из этого сле­дует, что независимыми являются только 3 из 4 строк таблицы. Матрица со­единений   «узлы-ветви» (табл. 2) получается из приведенной выше таб­лицы путем вычеркивания любой строки (например, строки №4):

Таблица 2

№ узла  \   № ветви	1	2	3	4	5	6
1	1	-1		1
2	-1		-1		1
3		1	1			-1

Размерность матрицы соединений   «узлы-ветви»  равна , где n-1 – число независимых узлов, m – число ветвей.
Независимыми называются контуры графа, образованные одной из хорд и ветвями дерева. Число независимых контуров соответствующих числу хорд графа:   , контуры нумеруются по номеру хорды  (1, 2, 3). Направление обхода контура принимается по направлению хорды, ко­торая входит в состав этого контура.
 Составим таблицу соединений «контуры-ветви», руководствуясь сле­дующими правилами:
1 – направление ветви совпадает с направлением обхода контура,
-1 – направление ветви не совпадает с направлением обхода контура,
0 - ветвь не входит в контур.
Таблица 3

№ контура \ № ветви	1	2	3	4	5	6
1	1	0	0	-1	1	0
2	0	1	0	1	0	1
3	0	0	1	0	1	1

 

Данная таблица получила название матрицы соединений       - «контуры-ветви».Размерность матрицы соединений        равна  , где – число независимых контуров, m – число ветвей.
Если матрицы соединений  и  составлены верно, то должно вы­полняться условие: .